弹性并联机器人消减残余振动的研究0剥皮刀
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弹性并联机器人消减残余振动的研究
弹性并联机器人消减残余振动的研究 2011年12月09日 来源: 用输入命令规划法和闭环控制法消减残余振动是两种常用方法。闭环控制法需要不断测量机器人的运动状态,从而控制其残余振动[1,2],这类方法需要加入复杂的反馈控制系统,因而在应用中有一定难度,输入命令规划法[3,4],则是构造弹性机器人的运动路径,并加以优化,从而使运动结束后的残余振动减小,但这种方法要在运动过程中实施,故对运动过程本身有一定的影响。对于弹性并联机器人[5]来说,冗余驱动显然可以用来抑制其运动结束后的残余振动,这就是本文采用的第一种方法;同时输入运动规划法可以有效地消减平台的弹性振动,减小输出运动误差,这便形成了本文的第二种方法。
1 弹性并联机器人的动力学方程及其残余振动
图1所示为一种3-RRR型的弹性平面并联机器人,它由一个平台和三条腿组成,所有关节均为转动副,其平台为刚性体,三条腿均为弹性杆。文献[5]采用KED方法建立了它的运动方程如下
(1)
式中:U∈R18×1——机器人弹性运动的系统坐标列阵; M,K∈R18×18——机器人系统的质量和刚度矩阵; P,Q∈R18×1——广义外力和刚体惯性力,而Q=Mr; r——对应于U的刚体加速度列阵。 U由两部分组成,即:U=[UTl,UTe]T,其中Ul=(u11,…u15,u21,…,u25,u31,…u35)T为腿部的弹性运动,Ue=(u1,u2,u3)T为由腿部弹性运动引起的平台弹性运动。
图1 机械人结构和系统坐标
当一个运动过程结束后,机器人的刚体运动停止,但由于此时的弹性运动仍在继续,因此机器人不能精确定位,此时的弹性运动即称为残余振动。 机器人在残余振动时,由于,因此Q=0,而且M、K保持恒定,这样,残余振动的方程可以写为
(2)
对于并联机器人来说,输出运动为平台的运动,因此消减残余振动应首先考虑抑制平台的弹性运动Ue。
2 冗余驱动消减残余振动
由于图1所示的3-RRR型机器人自由度为3,故机器人需要3个驱动器,这3个驱动器加于Bi处,驱动力为Tθi(i=1,3)。冗余驱动即在这3个驱动器之外再加上若干个冗余驱动器,通过规化冗余驱动器的输入力,可以实现优化目标,本文在Ai处加上3个冗余驱动器,驱动力为Tαi(i=1,3),则
规划Tαi,可以使Ue迅速消减,用Newmak逐步积分法求解式(2)的做法为 已知前一时刻的,则当前时刻的U(t)可以由下式求出
(3)
式中
a0、a1、a2的意义见文献[6]。 取优化目标为 minf=UTeUe (4)
将
Ke,其中K1∈R15×18,Ke∈R3×18,即Ke是的下3行组成的矩阵,则
(5)
故式(4)可写为
(6)
取
(7)
式中:kei——Ke的第i列。 K?e∈R3×3,则式(6)可化为
(8)
式中,Tα=(Tα1,Tα2,Tα3)T,f取极小值的充分条件为f对Tα的导数为零,即
(9)
所以
(10)
将求出的Tα代入P中,可以通过式(3)求出当前时刻的Ue。 理论上讲,通过式(10)求出的Tα可以使Ue=0,但这种做法极易使积分发散,因此在实际计算时,为了使积分收敛,可以取
(11)
式中,k为一个系数,0k1,可根据需要选取。 通过数值例可以看到,冗余驱动能在很短的时间内平抑机器人的残余振动。
3 输入运动规划消减残余振动
当机器人运动结束后,也可以采用输入运动规划法降低其残余振动,输入运动规划法即给机器人加上一个附加的输入运动,使之产生的平台附加运动与其弹性运动互相抵消,从而得到预期的定位精度。 对于不带冗余驱动的机器人,其KED方程为
(12)
加上附加的输入运动后,机器人系统中又有了r项,因此Q不为零。 设机器人输入位移为θ=(θ1,θ2,θ3)T,输出位移为Se=(Ex,Ey,β)T,对于输入位移变量δθ,可产生输出位移变量δSe=(δEx,δEy,δβ)T,由于δSe相对Se来说是一个微小量,故可以由下式近似求得
δSe=Jδθ (13)
式中:J——雅可比矩阵。 输入运动规划的目的是机器人输入位移中加上δθ,使其产生的δSe与Ue相互抵消,即
δSe+Ue=0 (14)
由于直接用式(14)求解δθ十分困难,因此本文将采用迭代法,求得δθ具体做法是: (1)在给定时刻,由式(3)给出Ue(将式(3)中的P换成Q); (2)取δSe=-Ue,则S′e=Se+δSe; (3)由式(13)求出δθ,θ′=θ+δθ; (4)将这个θ′带入机器人刚体运动方程求出新的M′,K′和U **r,在求解中采用近似法构造刚体速度和加速度,即
将这些值代入式(3)中,求出新的Ue; (5)取为平台的真实弹性运动,再取,其中W为加权矩阵,判断是否成立(其中ε0为给定误差极值),若不成立,则转(2)再次计算;若成立则结束计算,取这时的δθ为输入运动附加值,可转入下一时刻的运算。 由数值例的求解得知,该方法可以得到满足精度要求的结果。其优点是无需改动机器人的结构,缺点是为了使平台保持相对静止,其腿部必须做附加运动,而且附加运动δθ随时间衰减较慢。
4 数值例
取一弹性平面并联机器人结构参数同文献[5]中数值例,以平台上E点坐标(Ex,Ey)和平台转角β表示机器人的名义运动,取其名义运动为
则自由状态的机器人平台振动如图2所示,其中时间在t>π/5范围内的部分为其残余振动。 (1)冗余驱动消减残余振动 当t>π/5时,刚体运动结束,机器人用冗余驱动减残余振动,其平台振动和应加的冗余驱动力如图3、图4所示。
图2 自由状态的平台余振
图3 带冗余驱动的平台振动
图4 冗余驱动器的驱动力
(2)输入运动规划消减残余振动 当t>π/5时,机器人采用输入运动规划法消减残余振动。 取W为单位矩阵,ε0=10-6,则平台的弹性振动εe和应加的附加输入位移如图5、图6所示。
图5 带输入运动规化的平台振动
图6 附加的输入运动
5 结论
本文分别采用冗余驱动和预加输入运动法,降低了弹性平面并联机器人平台的残余振动。这两种方法计算简单、有效。在降低残余振动方面,冗余驱动法和输入运动规划法有本质上的区别。冗余驱动法是直接抑制平台的残余弹性振动,输入运动规划法则没有直接抑制平台的振动,而是以腿部的附加运动换取了平台的相对静止,二者各有千秋,可以根据具体任务选择不同的方法。
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